ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布とは、
「成功 or 失敗」のように２種類のみの結果で表される試行の結果を0と1で表した分布である。
\(\begin{cases} P(1) & p \\ P(0) & 1 – p \end{cases}\)

ベルヌーイ分布の確率関数は以下のように書ける。
\(P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}\)

また、ベルヌーイ分布の期待値は
\(\begin{align*} \mathbb E[X] &= \sum \limits_{x=0}^1 xP(X)\\ &= \sum \limits_{x=0}^1 x p^x(1-p)^{1-x}\\ &= 0 + 1\times p^1 (1-p)^{1-x}\\ &= p \end{align*}\)

分散は、
\(\begin{align*} \mathbb V[X] &= \mathbb E[X^2] -\{\mathbb E[x]\}^2\\ &= \sum \limits_{x=0}^1 x^2p^x(1-p)^{1-x} – p^2\\ &= 0+1^2\times p^1(1-p)^{1-1} – p^2\\ &= p(1-p) \end{align*}\)

まとめ

マルチヌーイ分布の
　・確率関数：\(P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}\)
　・期待値　：\( p\)
　・分散　　：\(\mathbb V[X]= p(1-p)\)